Omvouw universum

Torus Games introduceert mensen vanaf 10 jaar (ook volwassenen!) met de verbeelding-tartende mogelijkheid dat het universum “meervoudig samenhangend” is. Door het spelen van de spellen ontwikkel je een visueel begrip van modeluniversa die eindig zijn, maar toch geen rand hebben.

Het basisprincipe is eenvoudig: neem een vel papier en teken een 2‑dimensionale vis.

square piece of paper

Als je het papier buigt en de linkerkant aan de rechterkant plakt wordt de wereld van de vis een cilinder. Als de vis naar het oosten zwemt, zal deze de hele cilinder rond zwemmen en vanuit het westen op het startpunt terug komen.

vertical cylinder

Je kunt het papier ook de andere kant op buigen als je wilt, en de boven- en onderkant aan elkaar plakken, inplaats van de linker- en rechterkant. De wereld van de vis wordt nu een horizontale cilinder. Als de vis nu 90° draait en naar het noorden zwemt, zal deze de cilinder rond zwemmen en vanuit het zuiden in het startpunt terugkeren.

horizontal cylinder

We willen nu zowel de linker- en rechterkant op elkaar plakken, als de boven- en onderkant - allebei tegelijk. Maar als je dit probeert met gewoon papier zul je zien dat het een gekreukte bende wordt.

Gelukkig is deze constructie in de computer veel eenvoudiger uit te voeren. De Torus Games hebben een vierkant speelbord waar linker- en rechterkant met elkaar verbonden zijn, en boven- en onderkant ook. Zonder gekreukt papier!

Probeer het zelf: Ga in Torus Games naar het Helpmenu en kies Oefenbord. Selecteer Oefenbord na het sluiten van dit helpscherm. Als het goed is zie je nu een vis. Pak de vis en sleep deze door de bovenkant van het speelbord - de vis zal automatisch onderaan het speelbord verschijnen! Sleep de vis nu door de rechterzijde en deze zal terugkeren van links. Dit type universum, waarbij de linkerkant doorloopt aan de rechterkant en de bovenkant aan de onderkant, heet een torus.

Alle spellen van Torus Games werken net als de vissenwereld. Doe bijvoorbeeld het volgende: klik terug naar de Torus Games, ga naar het Spelmenu sluit dit helpscherm, druk op Spel onderaan scherm en selecteer Puzzel. Je hebt nu puzzelstukjes op een torus. Selecteer een puzzelstukje en sleep het door de bovenkant van het speelbord - het zal automatisch onderaan terugkomen. Sleep het nu door de rechterkant en het zal links terugkomen. Voor de lol kun je proberen de hele puzzel goed te leggen.

Voor een ander perspectief op het speelbord klik je op het bord (niet op een puzzelstuk) en sleep je het: geef je het speelbord een zetje met je vinger: als een deel van het bord aan de ene kant verdwijnt komt het aan de andere kant weer tevoorschijn. Terwijl je speelt geeft deze motorische en visuele interactie je een intuïtief begrip van een universum dat eindig is maar toch geen rand heeft.

Nadat je alle spellen hebt gespeeld en vertrouwd bent geraakt met het “meervoudig samenhangende” speelbord (eindig zonder rand) kun je over een echt universum na gaan denken. Het idee is hetzelfde, maar inplaats van te starten met een 2D speelbord beginnen we met een 3D blok ruimte. Neem bijvoorbeeld de ruimte binnenin de kamer waar je nu bent. Stel je voor dat, wanneer je door de noordelijke muur loopt, je door de zuidelijke muur weer tevoorschijn komt. Net zo kom je door de westelijke muur terug, als je door de oostelijke muur loopt. En als je door het plafond naar boven vliegt, kom je natuurlijk door de grond terug. Je stelt je nu een “meervoudig samenhangend” 3D universum voor! Hier kun je eeuwig vliegen zonder ooit een grens of rand tegen te komen (de muren zijn allemaal weg). Toch heeft dit universum een eindig volume (dat van de kamer).

Waarnemingen gedaan met satellieten suggereren dat het echte universum wellicht meervoudig samenhangend is, zoals het speelbord van de Torus Games meervoudig samenhangend is. Tot dusver is het bewijs te onzeker om stellige conclusies te trekken.

De software Curved Spaces (voor Mac OS en Windows, maar nog niet voor iPhone OS) laat je meervoudig samenhangende universa visueel ervaren.

Het boek The Shape of Space introduceert bovenbouw scholieren en volwassenen met het idee van meervoudig samenhangende universa op een dieper wiskundig niveau.

De lesmodule TopWis Poincaré, ontwikkeld door De Praktijk, is een introductie in de topologie - de wiskunde van meervoudig samenhangende universa - voor de bovenbouw van het vwo. Voor meer informatie over het lesmateriaal van de Praktijk, zie www.praktijk.nu of neem contact op via yuri@praktijk.nu.

Nederlandse vertaling door Sebas Eliëns (2010)

Meer vragen? Stuur ze naar Geometry Games Contact Pagina voor een min of meer direct antwoord.

© 2010 door Jeff Weeks